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          描述函數法

          2016-03-11 15:47 作者:管理員11 來源:未知 瀏覽: 字號:
          描述函數法
              描述函數法是達尼爾(P.J.Daniel)于1940年首先提出的,其基本思想是:當系統滿足一定
          的假設條件時,系統中非線性環節在正弦信號作用下的輸出可用一次諧波分量來近似,由此導出
          非線性環節的近似等效頻率特性,即描述函數。這時非線性系統就近似等效為一個線性系統,并
          可應用線性系統理論中的頻率法對系統進行頻域分析。
              描述函數法主要用來分析在無外作用的情況下,非線性系統的穩定性和自振蕩問題,并且不
          受系統階次的限制,一般都能給出比較滿意的結果,因而獲得了廣泛的應用。但是由于描述函數
          對系統結構、非線性環節的特性和線性部分的性能都有一定的要求,其本身也是一種近似的分析
          方法,因此該方法的應用有一定的限制條件。另外,描述函數法只能用來研究系統的頻率響應特
          性,不能給出時間響應的確切信息。
          1.描述函數的基本概念
              (l)描述函數的定義
              設非線性環節輸入輸出描述為
                         y=f(x)    (8-50)
          當非線性環節的輸入信號為正弦信號
                        x(t)=Asinωt    (8-51)
          時,可對非線性環節的穩態輸出y(t)進行諧波分析。一般情況下,y(t)為非正弦的周期信號,因而
          可以展開成傅里葉級數:


              一般情況下,描述函數N是輸入信號幅值A和頻率ω的函數。當非線性環節中不包含儲能元
          件時,其輸出的一次諧波分量的幅值和相位差與ω無關,故描述函數只與輸入信號幅值以有關。
          至于直流分量,若非線性環節的正弦響應為關于t的奇對稱函數,即


              (2)非線性系統描述函數法分析的應用條件
              1)非線性系統應簡化成一個非線性環節和一個線性部分閉環連接的典型結構形式,如
          圖8-36所示。
          非線性系統典型結構形式

              3)系統的線性部分應具有較好的低通濾波性能。當非線性環節的輸入為正弦信號時,實際
          輸出必定含有高次諧波分量,但經線性部分傳遞之后,由于低通濾波的作用,高次諧波分量將被
          大大削弱,因此閉環通道內近似地只有一次諧波分量流通,從而保證應用描述函數分析方法所得
          的結果比較準確,對于實際的非線性系統,大部分都容易滿足這一條件。線性部分的階次越高,
          低通濾波性能越好,而欲具有低通濾波性能,線性部分的極點應位于復平面的左半平面。
              (3)描述函數的物理意義
              線性系統的頻率特性反映正弦信號作用下,系統穩態輸出中與輸入同頻率的分量的幅值和
          相位相對于輸入信號的變化;而非線性環節的描述函數則反映非線性系統正弦響應中一次諧波
          分量的幅值和相位相對于輸入信號的變化,因此忽略高次諧波分量,僅考慮基波分量,非線性環
          節的描述函數表現為復數增益的放大器。
              值得注意的是,線性系統的頻率特性是輸入正弦信號頻率ω的函數,與正弦信號的幅值A
          無關,而由描述函數表示的非線性環節的近似頻率特性則是輸入正弦信號幅值A的函數,因而
          描述函數又表現為關于輸入正弦信號的幅值A的復變增益放大器,這正是非線性環節的近似頻
          率特性與線性系統頻率特性的本質區別。當非線性環節的頻率特性由描述函數近似表示后,就可
          以推廣應用頻率法分析非線性系統的運動性質,問題的關鍵是描述函數的計算。
          2.典型非線性特性的描述函數
              典型非線性特性具有分段線性特點,描述函數的計算重點在于確定正弦響應曲線和積分區
          間,一般采用圖解方法,下面針對兩種典型非線性特性,介紹計算過程和步驟。
              (1)死區飽和非線性環節
              將正弦輸入信號x(t)、非線性特性y(x)和輸出信號y(t)的坐標按圖8-37所示方式和位置
          旋轉,由非線性特性的區間端點(△,y(△))和(a,y(a))可以確定y(t)關于ωt的區間端點φ1和
          死區飽和特性和正弦響應曲線
          φ2,死區飽和特性及其正弦響應如圖8-37所示。輸出y(t)的效學表達式為


          (2)死區與滯環繼電非線性環節
          死區滯環繼電特性和正弦響應曲線
              注意到滯環與輸入信號及其變化率的關系,通過
          作圖法獲得y(t)如圖8-38所示,輸出y(t)的數學表
          達式為


          非線性特性及其描述函數1
          非線性特性及其描述函數2
          非線性特性及其描述函數3
          3.非線性系統的簡化
              非線性系統的描述函數分析建立在圖8-36所示的典型結構基礎上。當系統由多個非線性環
          節和多個線性環節組合而成時,在一些情況下,可通過等效變換使系統簡化為典型結構形式。
              等效變換的原則是在r(t)=0的條件下,根據非線性特性的串、并聯,簡化非線性部分為一個
          等效非線性環節,再保持等效非線性環節的輸入輸出關系不變,簡化線性部分。
              (l)非線性特性的并聯
              若兩個非線性特性輸入相同,輸出相加、減,則等效非線性特性為兩個非線性特性的疊加。圖
          8-39為死區非線性和死區繼電非線性并聯的情況。
          非線性特性并聯時的等效非線性特性
              由描述函數定義,并聯等效非線性特性的描述函數為各非線性特性描述函數的代數和。
              (2)非線性特性的串聯
              若兩個非線性環節串聯,可采用圖解法簡化。以圖8-40所示死區特性和死區飽和特性串聯
          簡化為例。
          非線性特性串聯
              通常,先將兩個非線性特性接圖8-41(a), (b)形式放置,再按輸出端非線性特性的變化端點
          △2和a2確定輸入x的對應點△和a,獲得等效非線性特性如圖8-41 (c)所示,最后確定等效非線
          非線性串聯簡化的圖解方法

              應該指出,兩個非線性環節的串聯,等效特性還取決于其前后次序,調換次序則等效非線性
          特性亦不同。描述函數需按等效非線性環節的特性計算。多個非線性特性串聯,可按上述兩個非
          線性環節串聯簡化方法,依由前向后順序逐一加以簡化。
              (3)線性部分的等效變換
              考慮圖8-42(a)示例,按等效變換原則,調換綜合點,系統可表示為圖8-42(b)形式,再按線
          性系統等效變換得典型結構形式,見圖8-42(c)。
          非線性系統等效變換
          4.非線性系統穩定性分析的描述函數法
              若非線性系統經過適當簡化后,具有圖8-36所示的典型結構形式,且非線性環節和線性部
          分滿足描述函數法應用的條件,則描述函數可以作為—個具有復變增益的比例環節。于是非線性
          系統經過諧波線性化已變成一個等效的線性系統,可以應用線性系統理論中的頻率域穩定判據
          分析非線性系統的穩定性。
              (l)變增益線性系統的穩定性分析
              為了應用描述函數分析非線性系統的穩定性,有必要研究圖8-43(a)所示線性系統的穩定
          性,其中K為比例環節增益。設G(s)的極點均位于s的左半平面,即P=0,G(jw)的奈奎斯特曲
          線ΓG如圖8-43 (b)所示。閉環系統的特征方程為
              1+ KG(jω)=0    (8-82)
          可變增益的線性系統

              (2)應用描述函數分析非線性系統的穩定性
              上述分析為應用描述函數判定非線性系統的穩定性奠定了基礎。由于要求G(s)具有低通特
          性,故其極點均應位于s的左半平面。當非線性特性采用描述函數近似等效時,閉環系統的特征
          方程為




          例8-5系統穩定性分析
          (3)非線性系統存在周期運動時的穩定性分祈

              由上兩式可解得交點處的頻率ω和幅值A。系統處于周期運動時,非線性環節的輸入近似為
          等幅振蕩
              x(t)= Asinωt
          即每一個交點對應著一個周期運動。如果該周期運動能夠維持,即在外界小擾動作用下使系統偏
          離該周期運動,而當該擾動消失后,系統的運動仍能恢復原周期運動,則彌為穩定的周期運動。圖
          8-47給出了非線性系統存在周期運動的四種形式,圖中ΓG曲線和-1/N(A)的交點為N0=
          -1/N(A0),負倒描述函數上的一點Ni對應的幅值為Ai。
          存在周期運動的非線性系統
              對于圖8-47(a)所示系統,設系統周期運動的幅值為A0。當外界擾動使非線性環節輸入振幅
          減小為A1時,由于ГG曲線包圍[-1/N(A1),j0]點,系統不穩定,振幅將增大,最終回到N0點;當外
          界擾動使輸入振幅增大為Az,由于ГG曲線不包圍[-1/N(A2),j0]點,系統穩定,振幅將衰減,最終
          也將回到N0點。這說明N0點對應的周期運動是穩定的。
              對于圖8-47(b)所示系統,一N(A)曲線的運動方向與圖8-47(a)相反,當外擾動使系統偏離
          周期運動至N2點,即使其幅值由A0增大為A2時,系統不穩定,振幅將進一步增大,最終發散至無
          窮}而當外擾動使系統偏離周期運動至N1點,即使其幅值由A0減小為A1時,系統穩定,振幅將進
          一步減小,最終衰減為零。這表明N0點對應的周期運動是不穩定的。
              對于圖8-47(c)所示系統ГG曲線和-1/N(A)曲線有兩個交點N10和N20,系統中存在兩個周期
          運動,幅值分別為A10和A20,仿上分析可知,在Nzo點,外界小擾動使系統運動偏離該周期運動后,
          系統運動仍然能恢復該周期運動;而在N10點,只要有外界擾動使系統運動偏離該周期運動,則系
          統運動或收斂至零,或趨向于N20點對應的周期運動。因此,N10點對應的周期運動是不穩定的,
          Nzo點對應的周期運動是穩定的。
              對于圖8-47(d)所示系統,Гc曲線和-1/N(A)巧有兩個交點N10和N20,表明系統中存在幅值為
          A10和A20的兩個周期運動,N10點對應的周期運動是穩定的;N20點對應的周期運動是不穩定的,
          外界小擾動或使系統運動發散至無窮,或趨向于幅值N10點對應的周期運動。
              綜合上述分析過程,在復平面上可將n曲線包圍的區域視為不穩定區域,心曲線不包圍的
          區域視為穩定區域,則有下述周期運動穩定性判據:
              在ГG曲線和-1/N(A)曲線的交點處,若-1/N(A)曲線沿著振幅^增加的方向由不穩定區域
          進入穩定區域時,該交點對應的周期運動是穩定的。反之,若-1/N(A)曲線沿著振幅A增加的方
          ,向在交點處由穩定區域進入不穩定區域時,該交點對應的周期運動是不穩定的。
              圖8-47的分析表明,非線性系統存在周期運動時,系統運動的分析是較為復雜的。圖8-47
          (b)所示系統,系統運動收斂至零還是發散至無窮,均取決于初始條件,即使系統處于零平衡狀
          態,但受到大的擾動仍將發散至無窮.圖8-47(c)所示系統,當初始條件為以較大時(A>A10),將
          產生穩定的周期運動。而圖8-47(d)所示系統,則當初始條件為A較小時(A≤A20),將產生穩定
          的周期運動。因而,這樣的系統產生自激振蕩是有條件的。此外還應注意到這類系統穩定的周期
          運動只是對擾動的一定范圍具有穩定性,當擾動較大時,系統將停振或發散至無窮,由于系統不
          可避免地存在各種擾動因素,因此不穩定的周期運動在系統中不可能出現,而欲利用非線性系統
          產生不受擾動影響的自激振蕩,應選圖8-47(a)所示的系統。
              最后還需指出,應用描述函數法分析非線性系統運動的穩定性,都是建立在只考慮基波分量
          的基礎之上的,實際上,系統中仍有一定量的高次諧波分置流通,系統自振蕩波形并非純正弦波,
          因此分析結果的準確性還取決于ΓG曲線與-1/N(A)曲線在交點處的相對運動。若交點處兩條曲
          線幾乎垂直相交,且非線性環節輸出的高次諧波分量被線性部分充分衰減,則分析結果是準確
          的。若兩曲線在交點處幾乎相切,則在一些情況下(取決于高次諧波的衰減程度)不存在自振蕩。
              例8-6 設具有飽和非線特性的控制系統如圖8-48所示,試分析:
              1) K-15時非線性系統的運動;
              2)欲使系統不出現自振蕩,確定K的臨界值。


          例8-7 設非線性系統如圖8-50所示,試采用描述函數法分析:


              根據周期運動穩定性判據知,A1和ω1對應不穩定的周期運動;A2和ω2對應穩定的周期運
          動。當初始條件或外擾動使A<A1,則系統運動不存在自振蕩,穩態誤差丨e丨<h;當初始條件或外
          擾動使A>A1時,則系統產生自振蕩,e(t)=l.146sin4t。

          γ(A)≥γm
          因此加入串聯超前校正網絡,可以使非線性系統消除自振,且使系統具有一定的相角裕度。當然
          也可以通過減小線性部分的增益消除自振,但這樣做會使系統響應的快速性降低。
          例8-7非線性系統的頻率特性

              最后指出:在掌握描述函數法基本理論的基礎上,應用MATLAB軟件可作出-1/N(A)和
          G(jω)曲線,便于分析非線性系統的穩定性和自振蕩。
          (責任編輯:laugh521521)
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