離散系統的動態性能分析

離散系統的動態性能分析
    應用z變換法分析線性定常離散系統的動態性能，通常有時域法、根軌跡法和頻域法，其中
時域法最簡便。本節主要介紹在時域中如何求取離散系統的時間響應，指出采樣器和保持器對系
統動態性能的影響，以及在z平面上定性分析離散系統閉環極點與其動態性能之間的關系。
1．離散系統的時間響應
    在已知離散系統結構和參數情況下，應用z變換法分析系統動態性能時，通常假定外作用為
單位階躍函數l(t)。
    如果可以求出離散系統的閉環脈沖傳遞函數φ(z)=C(z)／R(z)，其中R(z)=z/(z-1)，則
系統輸出量的z變換函數
    c(z)=z/(z-1)φ(z)
將上式展成冪級數，通過z反變換，可以求出輸出信號的脈沖序列c*(t)。c*(t)代表線性定常離
散系統在單位階躍輸入作用下的響應過程。由于離散系統時域指標的定義與連續系統相同，故根
據單位階躍響應曲線c*(t)可以方便地分析離散系統的動態和穩態性能。
    如果無法求出離散系統的閉環脈沖傳遞函數φ(z)，但由于R(z)是已知的，且C（z）的表達
式總是可以寫出的，因此求取c*(t)并無技術上的困難。
    例7-32設有零階保持器的離散系統如圖7-41所示，其中r(t)=1(t)，T=1s，K=1。試分
析該系統的動態性能。
    解 先求開環脈沖傳遞函數G(z)。因為

    根據上述c(nT)（n=0，1，2，…）數值，可以繪出離散系統的單位階躍響應c*(t)，如圖7-44
所示。由圖可以求得給定離散系統的近似性能指標：上升時間tr=2s，峰值時間tp=4s，調節時間
ts=12s，超調量σ% =40%。
    應當指出，由于離散系統的時域性能指標只能按采樣周期整數倍的采樣值來計算，所以是近
似的。此外，當外作用為不同的典型輸入信號形式時，離散系統的時間響應可用MATLAB軟件
包方便地求出，其應用方法請參閱本書附錄C。
2．采樣器和保持器對動態性能的影響
    前面曾經指出，采樣器和保持器不影響開環脈沖傳遞函數的極點，僅影響開環脈沖傳遞函數
的零點。但是，對閉環離散系統而言，開環脈沖傳遞函數零點的變化，必然引起閉環脈沖傳遞函數
極點的改變，因此采樣器和保持器會影響閉環離散系統的動態性能。下面通過一個具體例子，定
性說明這種影響。
    在例7-32中，如果沒有采樣器和零階保持器，則成為連續系統，其閉環傳遞函數




    在例7-32中，既有采樣器又有零階保持器的單位階躍響應曲線c*(t)，已繪于圖7-44。為了
便于對比，重新畫于圖7-45，見曲線3。
根據圖7-45，可以求得各類系統的性能指標如表7-6所示。

    由表可見，采樣器和保持器對離散系統的動態性能有如下影響：
    l)采樣器可使系統的峰值時間和調節時間略有減小，但使超調量增大，故采樣造成的信息
損失會降低系統的穩定程度。然而，在某些情況下，例如在具有大延遲的系統中，誤差采樣反而會
提高系統的穩定程度。
    2)零階保持器使系統的峰值時間和調節時間都加長，超調量和振蕩次數也增加。這是因為
除了采樣造成的不穩定因素外，零階保持器的相角滯后降低了系統的穩定程度。
3．閉環極點與動態響應的關系
    離散系統閉環脈沖傳遞函數的極點在z平面上單位圓內的分布，對系統的動態響應具有重
要的影響。確定它們之間的關系，哪怕只是定性關系，對分析和設計離散系統，都有指導意義。
    設閉環脈沖傳遞函數

    在式(7-96)中，等號右端第一項的z反變換為M(1)/D(l)，是c*(t)的穩態分量，若其值為1，
則單位反饋離散系統在單位階躍輸入作用下的穩態誤差為零；第二項的z反變換為c*(t)的瞬態
分量。根據pk在單位圓內的位置，可以確定c*(t）的動態響應形式，下面分幾種情況來討論。
  (1）正實軸上的閉環單極點
  設pk為正實數。pk對應的瞬態分量為

所以，當pk為正實數時，正實軸上的閉環極點對應指數規律變化的動態過程形式。
    若pk>l，閉環單極點位于z平面上單位圓外的正實軸上，有a>0，故動態響應ck(nT)是按
指數規律發散的脈沖序列I
    若pk=l，閉環單極點位于右半z平面上的單位圓周上，有a=0，故動態響應ck（nT）=ck，為
等幅脈沖序列；
    若0<pk<1，閉環單極點位于z平面上單位圓內的正實軸上，有a<0，故動態響應ck(nT)是
按指數規律收斂的脈沖序列，且pk越接近原點，丨a丨越大，ck（nT）衰減越快。
    (2)負實軸上的閉環單極點
    設pk為負實數，由式(7-97)可見，當n奇數時pk的n次方為負；當n為偶數時pk的n次方為正。因此，負實
數極點對應的動態響應ck(nT)是交替變號的雙向脈沖序列。
    若pk<-1，閉環單極點位于z平面單位圓外的負實軸上，則ck(nT)為交替變號的發散脈沖
序列；
    若pk=-1,閉環單極點位于左半z平面的單位圓周上，則ck（nT）為交替變號的等幅脈沖
序列，
    若-1<pk<0，閉環單極點位于z平面上單位圓內的負實軸上，則ck（nT）為交替變號的衰減
脈沖序列，且pk離原點越近，ck（nT）衰減
越快。
    閉環實極點分布與相應動態響應形式的
關系，如圖7-46所示。由圖可見：
    若閉環實數極點位于右半z平面，則輸
出動態響應形式為單向正脈沖序列。實極點
位于單位圓內，脈伸序列收斂，且實極點越接
近原點，收斂越快；實極點位于單位圓上，脈
沖序列等幅變化f實極點位于單位圓外，脈沖
序列發散。
    若閉環實數極點位于z左半平面，則輸
出動態響應形式為雙向交替脈沖序列。實極
點位于單位圓內，雙向脈沖序列收斂；實極點
位于單位圓上，雙向脈沖序列等幅變化；實極
點位于單位圓外，雙向脈沖序列發散。

  (3)z平面上的閉環共軛復數極點

    由式(7-103)可見，一對共軛復數極點對應的瞬態分量ck,k(nT)按振蕩規律變化，振蕩的角
頻率為ω。在z平面上，共軛復數極點的位置越左，θk便越大，ck,k(nT)振蕩的角頻率ω也就越高。
式(7-102)和(7-103)表明：
 若丨pk丨>1，閉環復數極點位于z平面上的單位圓外，有a>0，故動態響應ck,k（nT）為振蕩發
散脈沖序列；
    若丨pk丨=1，閉環復數極點位于z平面上的單位圓上，有a=0,故動態響應ck,k(nT)為等幅振
蕩脈沖序列；
    若丨pk丨<1，閉環復數極點位于z平面上的單位圓內，有a<0，故動態響應ck,k(nT)為振蕩收
斂脈沖序列，且丨pk丨越小，即復極點越靠近原點，振蕩收斂得越快。
    閉環共軛復數極點分布與相應動態響應形式的關系，如圖7-47所示。由圖可見；位于z平
面上單位圓內的共軛復數極點，對應輸出動態響應的形式為振蕩收斂脈沖序列，但復極點位于左
半單位圓內所對應的振蕩頻率，娶高于右半單位圓內的情況。
    綜上所述，離散系統的動態特性與閉環極點的分布密切相關。當閉環實極點位于z平面上左
半單內圓內時，由于輸出衰減脈沖交替變號，故動
態過程質量很差；當閉環復極點位于左半單位圓
內時，由于輸出衰減高頻振蕩脈沖。故動態過程性
能欠佳。因此，在離散系統設計時，應把閉環極點
安置在z平面的右半單位圓內，且盡量靠近原點。
    最后，討論φ(z）的所有極點均位于原點的特
殊情況。由s域到z域的等σ線映射可知，左半s
平面上的等σ線，映射為z平面上單位圓內的一
簇同心圓，顯然，z平面上的原點，對應s平面上
σ→-∞。在連續系統中，σ稱為穩定度，故φ(z)全
部極點都在原點的系統，稱為具有無窮大穩定度
的離散系統。此時


    由于φ(z)是Z的-1次方的有限項冪級數，因此相應的輸出脈沖序列必在有限拍（即有限采樣周期
數）內結束，這是離散系統特有的現象。因為對連續系統而言，理論上動態過程在t→∞時才結
束。當被控對象與采樣周期一定時，這種離散系統具有最短的動態過程，故又稱為最少拍系統或
最短調節時間系統。有關最少拍系統的設計問題，將在下節介紹。
(責任編輯：laugh521521)

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